تحليل الفرق بين مكعبين

تحليل الفرق بين مكعبين، تلك من المسائل الحسابية الهامة، التي يبحث عنها مزيد من الطلاب في أوقات ذروة الامتحانات، حيث يعد ذلك التحليل أكثر ما يميز ذروة الامتحانات التي تجرى الآن، ولهذا سوف نعرض عليكم في هذا المقال ما هو تحليل الفرق ين مكعبين.

تحليل الفرق بين مكعبين

• يعتبر الفرق بين مكعبين من الحالات الخاصة بعلوم الرياضيات، وذلك لعدة أسباب سنوردها في هذا المقال.
  • ولكن يجب عليك ابتداء معرفة تكوين الفرق بين مكعبين.
• القاعدة الرئيسية الأولى للفرق ما بين مكعبين هما الحدان س³- ص³، عندما يكون س³: الحَدِّ الأوّل.
  • ومن ثم يصبح لزاما أن يكون مكعباً كاملاً، بينما ص³: هو الحَدِّ الثاني ويجب أيضا أن يكون مكعباً كاملاً هو الآخر.
• فالإشارة بين الحدين تكمن في الفرق أو اطرح، وبناءا على هذا يتم تفسير الفرق بين مكعبين.

ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة

كيف يمكن تحليل الفرق بين مكعبين؟

• تتمثل معادلة الفرق بين مكعبين بالشكل الآتي وهي =
  • (الجذر التكعيبي للحَدِّ الأوّل -الجذر التكعيبي للحَدِّ الثاني) × (مربع الجذر التكعيبي للحَدِّ الأوّل +حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحَدِّ الأوّل في الجذر التكعيبي للحد الثاني+ مربع الجذر التكعيبي للحد الثاني).
  • فيمكن ترجمتها من خلال الرموز (س³-ص³) =(س-ص) (س²+س ص+ص²).
• ولكي يمكنك تحليل الفرق بين حدين المكعبين، يجب تحقيق اشتراطات رياضية بعينها.
• تلك الاشتراطات هي أن المعادلة مدونة على هيئة الصيغة العامة وهي: (س³- ص³).
  • ثانيا التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدين، وفي حالة وجوده يجب إخراجه أولا من المعادلة.
  • ثم فتح قوسين، بحيث تظهر العلاقة بينهما علاقة ضرب مع تدوين العامل.
  • الذي تم خروجه في الخطوة الأولى خارج القوسين، وضربه بهما.
• بعد ذلك تكتب في القوس الأول إشارة طرح، بينما يكتب في القوس الثاني إشارتين جمع على هذا الشكل (-) × (+ +).
• ومن ثم تصبح كالاتي، حساب الجذر التكعيبي للحد الأول وتدوينه دون إشارة في القوس الأول قبل إشارة الطرح.
  • بهذا الشكل: (س-)× (+ +)، على أن يكون حساب الجذر التكعيبي للحد الثاني.
  • وتدوينه دون إشارة في القوس الأول بعد إشارة الطرح على هذا المنوال (س-ص) × (+ +).
  • وبهذا يكون الشكل النهائي للقوس الأول قد انتهى.
• بينما القوس الثاني فيتم تنفيذه على الشكل الآتي بتربيع الجذر التكعيبي للحد الأول: (س)².
  • ويتم كتابته على هذا الشكل في القوس الثاني قبل إشارة الجمع الأولى. (س-ص) × (س² + +).
• ومن ثم يتم إيجاد حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني: ش.ص.
  • ويكتب ناتج الضرب داخل القوس الثاني بين إشارتين الجمع:
  • (س-ص) × (س² + (س×ص) +)، ثم يربع الجذر التكعيبي للحد الثاني: (ص)².
  • ويدون داخل القوس الثاني بعد إشارة الجمع الثانية: (س-ص) × (س² +(س×ص) +ص²).
  • وبهذا يكون حصيلة المعادلة النهائية للقوسين هو: (س³- ص³) = (س-ص) × (س² +(س×ص) +ص²).

كما يمكنك التعرف على: متوازي المستطيلات والمكعب

أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين

ومن بين تلك المعادلات التجريبية لتساعدنا على الفهم بشكل واقعي:

أولا

• سوف نحاول حل الحدود الآتية إلى عوامله الأولية س³-27-(٣)، الحل هو:
  • إن ثنائي الحدود الذي استخرجناه يمثل الفرق بين مكعبين حيث إن الحد س³ يعتبر مكعباً كاملاً.
  • والحد 27 أيضاً جاء على شكل مكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (س³) يساوي س.
  • كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (27) يساوي 3، ومن ثم يصبح قانون الفرق بين مكعبين:
  • س³ – ص³ = (س – ص) (س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: س³-27=(س-3) (س²+3س+9).
• نأتي للمعادلة الثانية وهي (64-125) (٤)، باستخدام الفرق بين مكعبين.
  • ويمكننا استنتاج أنّ الحَدَّ الأول 125 عبارة عن مكعب كامل =5×5 ×5.
  • كما أنّ الحَدَّ الثاني 64عبارة عن مكعب كامل= 4×4×4، وبهذا يمكننا حل تلك المسألة على هذا الشكل:
  • 64-125= (4) ³-(5) ³، عبر الاعتماد على القاعدة الرئيسية للفرق بين مكعبين والتعويض فيها لنجد في النهاية أن:
  • (4) ³-(5) ³= (4-5) × ((4) ²+(4×5) +(5) ²) (4) ³-(5) ³ = (1-) × (16+20+25)= 61-
• بينما المثال التالي سوف يدور حول محاولة حل ثنائي الحدود الآتي إلى عوامله الأولية س³-8.[٣].
  • وعندها يكون الحل هو: إنّ ثنائي الحدود الناتج عن تلك العملية يجسد الفرق بين مكعّبين.
  • حيث إنّ الحد س³ يعتبر مكعّباً كاملاً، والحد 8 أيضاً جاء على شكل مكعّب كامل.
  • والجذر التكعيبي للحد (س³) يساوي س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (8) يساوي 2.
  • لذلك وحسب قانون الفرق بين مكعبّين: س³ – ص³ = (س – ص) (س² + س ص + ص²).
  • تكون النتيجة النهائية هي: س³-8=(س-2) (س²+2س+4).
• نأتي لمسألة رابعة: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية 64س³-343ص³.[٣].
  • وهنا يكمن الحل الأول 64س³عبارة عن مكعب كامل= 4س.
• كما أنّ الحَدَّ الثاني 343ص³عبارة عن مكعب كامل= 7ص×7ص×7ص، ومن خلال تدوين الناتج النهائي:
  • 64س³-343ص³= (4س) ³-(7ص) ³، فعن طريق القاعدة الرئيسية الأولى للفرق بين مكعبين.
  • والتعويض فيها سينتج الآتي: (4س) ³-(7ص) ³= (4س-7ص) ×((4س) ²+(4س×7ص) +(7ص) ²) (4س) ³-(7ص) ³ = (4س-7ص)×(16س²+28س ص+49ص²).

ثانيا

ونأتي لمسألة خامسة بنفس نمط الامتحان النهائي، والتي تطالبنا بتحلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية:

• 250س4-128س باستخدام الفرق بين المكعبين.[٢]، وهنا سيكون الحل بهذا الشكل.
• يجب عليك قبل ذلك التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، وخاصة في هذه الحالة.
• لأن كلا الحدين لا يشكل مكعباً كاملاً، فيصبح العامل المشترك هو 2س، والذي يتم استخراجه بهذا الشكل.
  • 2س(125س³-64)، والتي تضم مكعبين كاملين.
  • الجذر التكعيبي للحد (125س³) يساوي 5س.
• كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (64) يساوي 4، بالقاعدة الأولية لقانون الفرق بين مكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص) (س² + س ص + ص²)، يكون الناتج:
  • 250س4-128س =2س(5س-4) (25س²+20س+16). ا
• المسألة السادسة حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 40س³-625ص³.[٥].
• يجب علينا أولا اتباع نفس الخطوات السابقة، وهي التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود.
  • وفي هذه الحالة نجد أن هناك عامل مشترك هو 5، لذا يمكن أت يتم استخراجه لتصبح المسألة كما يأتي:
  • 5(8س³-125ص³)، والتي تضم مكعبين كاملين الجذر التكعيبي للحد (8س³) يُساوي 2س.
• كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (125ص) يساوي 5ص، لذلك وفقا للقاعدة الأولية لقانون الفرق بين مكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص) (س² + س ص + ص²)، يكون الناتج:
  • 40س³-625ص³= 5(2س-5ص) (4س²+10س ص+25ص²).
• المسألة السابعة س³ص6-64.[٦]، والتي نرى فيها أنّ ثنائي الحدود المستنتج يمثّل الفرق بين مكعّبين.
  • حيث إنّ الحد س³ص6 يعتبر مكعّباً كاملاً، والحد 64 يمثل مكعّبا كامل هو الآخر.
  • والجذر التكعيبي للحد (س³ص6) يساوي س ص²، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (64) يساوي 4.
• ووفقا للقاعدة الرئيسية الأولية للفرق بين مكعبّين: س³ – ص³ = (س – ص) (س² + س ص + ص²).
  • تكون النتيجة: س³ص6-64= (س ص²-4) (س²ص4+4س ص²+16).
• المسألة الثامنة وهي 27س³-1/(8ص³).[٧]، ويكون الحل كالآتي، إنّ ثنائي الحدود المُستنتج يمثّل الفرق بين مكعّبين.
• حيث إنّ الحد 27س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 1/(8ص³) أيضاً مُكعّبا كاملا.
• والجذر التكعيبي للحد (27س³) يُساوي 3س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد 1/(8ص³) يساوي 1/(2ص).
• لذلك القاعدة الأولية لقانون الفرق بين مُكعبّين: س³ – ص³ = (س – ص) (س² + س ص + ص²).
  • يكون الناتج: 27س³-1/(8ص³) =(3س-1/(2ص)) (9س²+(3س) /(2ص) +1/(4ص²)).

ثالثا

• المسألة التاسعة وهي س³-1.[٨]، ويمكن الحل في هذا الشكل، وقبل ذلك يجب التأكد من وجود عامل مشترك.
  • وفي هذه الحالة أيضا لا يوجد، إنّ ثنائي الحدود المفرز يمثّل الفرق بين مكعّبين.
  • حيث إنّ الحد س³ يعتبر مكعّباً كاملاً، والحد 1 أيضاً جاء مكعّبا كاملا هو الآخر.
  • والجذر التكعيبي للحد (س³) يُساوي س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد 1 يُساوي 1.
• وتبعا للقاعدة الأولية لقانون الفرق بين مكعبّين: س³ – ص³ = (س – ص) (س² + س ص + ص²)، تصبح النتيجة:
  • س³-1=(س-1) (س²+س+1).
• المسألة العاشرة 648س³-81.[٨]، فيترسخ الحل بتلك المعادلة.
  • وفي هذه الحالة يجب أن نوقن أن هناك عامل مشترك هو 3 يمكن استخراجه لتصبح المسألة كما يأتي:
  • 3(216س³-27)، والتي تضم مكعبين كاملين، الجذر التكعيبي للحد (216س³) يساوي 6س.
• إلى جانب أنّ الجذر التكعيبي للحد (27) يُساوي 3، لذلك ووفقا للقاعدة الأولية للفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص) (س² + س ص + ص²).
  • تصبح النتيجة النهائية هي 648س³-81= 3(6س-3) (36س²+18س+9).

كما يمكنك الاطلاع على: قانون مساحة المكعب ومحيطه