الفرق بين الضرب الداخلي والاتجاهي، يعد من أحد الموضوعات الهامة التي يجب فهمها بدقة في عالم الرياضيات، كما يتم تدريسها في بعض المناهج الدراسية للطلاب، ولذلك سنوضح اليوم عبر موقع مقال mqaall.com بعض المفاهيم الخاصة بالمتجهات وأنواع الضرب المختلفة.
الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
سنقوم اليوم بتوضيح الفرق بين الضرب الداخلي والاتجاهي للمتجهات في الفضاء:
- حيث يعد الضرب الداخلي أحد العمليات الرياضية التي تعتمد في تطبيقها على المتجهات.
- ونظرا للأهمية الكبيرة للضرب الداخلي في علم الرياضيات، يتم استخدامه في الكثير من التطبيقات.
- حيث أنه مهم لإيجاد كلا من طول المتجه، قيمة الزاوية بين المتجهين بالإضافة إلى استخدامه في إيجاد القيم الفيزيائية.
- فالضرب الداخلي هو ناتج ضرب المتجهات ليتم الحصول على قيمة الشغل، الفيض المغناطيسي وبيان القدرة.
الفرق بين الضرب الداخلي والاتجاهي
- لتوضيح الفرق بين الضرب الداخلي والاتجاهي يجب أن نعرف أن الضرب الاتجاهي هو أحد أسماء الضرب الداخلي، كما يوجد أيضا اسم الضرب التقاطعي والجداء المتجهي.
- حيث يستخدم الضرب الداخلي لضرب المتجهات، ولذلك فهو يتميز عن الضرب العادي.
- وذلك لأن المتجهات ليست مجرد أرقام عادية ولذلك لا يتم استخدام طرق الضرب العادية في إيجاد الحلول لها.
- فقد تم تسميته بهذا الاسم نظرا لأنه عبارة عن معادلة ثنائية تتم بين متجهين داخل الفضاء الخارجي المعروف بأنه ذات أبعاد ثلاثية.
- ولذلك يختلف الضرب الداخلي عن الضرب القياسي المستخدم في الكميات القياسية.
ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: عملية الضرب الداخلي للمتجهات تحقق الخاصية التجميعية
ملاحظات عن المتجهات
ليتم فهم الفرق بين الضرب الداخلي والاتجاهي يجب أن نتعرف على بعض الملاحظات التي تخص المتجهات:
- حيث أن المتجه يتم تمثيله بعدة نقاط في مستوى أفقي وأخر رأسي، ويتكون المتجه من عدد من الاتجاهات تكون في أغلب الأوقات 3 اتجاهات.
- كما يعرف متجه الوحدة بأنه المتجه الذي يكون طوله وحدة واحدة.
- وعندما تكون كل القيم المتواجدة تساوي صفر تكون قيمة المتجه مساوية صفر.
- ويقال على المتجهان متساويان عندما يتساوى مقدار كلا منهما.
- وتطلق المتجهات السالبة على المتجهات التي تسير في عكس الاتجاه بنفس القيمة.
- أما المتجهات المتوازية هي التي تتجه بنفس الاتجاه وتكون متساوية في المقدار.
- وعندما تكون المتجهات في نفس المستوى يطلق عليها اسم المتجهات المشتركة في المستوى.
خصائص الضرب الداخلي
هناك العديد من الخصائص المشتركة بين عملية الضرب العادي والضرب الداخلي، ومن تلك الخصائص ما يلي:
- خاصية التوزيع.
- كذلك خاصية الإبدال.
- خاصية الضرب في رقم حقيقي.
كما يوجد بعض الخصائص الخاصة فقط بعملية الضرب الداخلي، ومن تلك الخصائص ما يلي:
- خاصية الضرب الداخلي التي يتم فيها ضرب متجه بمتجه آخر قيمته تساوى صفر.
- خاصية ضرب المتجهات التي تعتمد على طول المتجه.
ومن الممكن أن يتم كتابة المتجه بعدة طرق مختلفة مثل:
- توافق خط قياس متجهين الوحدة.
- توافق خط المتجه القياسي للوحدة.
- في صورة مجموعة نظرا لضرب المتجه القياسي في جميع الاتجاهات.
- كما أن التوافق الخطي له العديد من الكميات التي فرضها علماء الرياضيات.
ولا تتردد في زيارة مقالنا عن: الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
تعريف دراسة الضرب الداخلي
- يعرف الضرب الداخلي بأنه ناتج حاصل ضرب مسقط أحد المتجهين على المتجه الأخر في نسبة معيار المتجه الأخر.
- أما حاصل جمع الضرب الداخلي مع فضاء المتجهات الحقيقي يطلق عليه فضاء الضرب الداخلي الحقيقي.
- كما أن دراسة الضرب الداخلي تشمل العديد من التطبيقات الهامة التي يجب التعرف عليها.
- حيث تفيد تلك التطبيقات في معرفة كلا من نسبة طول المتجه، قيمة الزاوية بين المتجهين وكذلك معرفة ناتج مسقط المتجه الواقع على المتجه الأخر.
مفهوم الضرب الداخلي لمتجهين في المستوي الإحداثي
قبل أن نتعرف على مفهوم الضرب الداخلي للمتجهين، يجب أن نتعرف أولا على حالات المتجهات:
- فهناك المتجهان المتعامدان اللذان ينتجان صفرا عند إجراء عملية الضرب الداخلي عليهما.
- أما المتجهان غير المتعامدان يكون حاصل ضربهما الداخلي لا يساوى صفر.
أما مفاهيم الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي للمتجهين تتمثل في الآتي:
- يقصد به المفهوم للضرب الداخلي في المستوى الإحداثي.
- كما يقصد به المجموع الناتج من ضرب المركبات الرأسية.
- ويقصد به أيضا المجموع الناتج من ضرب المركبات الأفقية.
- ويعرف أيضا بأنه مسقط أحد المتجهين على المتجه الأخر.
- وأيضا يعرف بأنه مسقط متجه في نفس معيار المتجه الأخر.
تطبيقات على الضرب الداخلي
هناك بعض التطبيقات التي يمكن تنفيذها باستخدام الضرب الداخلي، ومن تلك التطبيقات ما يلي:
تطبيق الزاوية بين المتجهين
- الذي من خلاله معرفة قيمة الزاوية الواقعة بين المتجهين بعد إجراء عملية الضرب الداخلي عليهم.
- فعند تطبيق الضرب الداخلي على معيار كلا من المتجهين نجد أن الناتج يساوى Cosine.
- وبعد تطبيق بعض قوانين منهج حساب المثلثات نستطيع إيجاد قيمة الزاوية الواقعة بينهم.
التطبيقات الفيزيائية
التي تحتاج لعملية الضرب الداخلي لإيجاد الحلول لها مثل:
- تطبيق الشغل الناتج عن عملية الضرب الداخلي بين متجه القوة والإزاحة.
- وتطبيق الفيض المغناطيسي الناتج عن عملية الضرب الداخلي بين مساحة السطح والمجال المغناطيسي.
تطبيق الزوايا والتعامد في الفضاء
الذي يستخدم في الحصول على بعض العلاقات التي تعمل على ربط متجهات الفضاء، ومن هذه العلاقات ما يلي:
- العلاقة بين الأعمدة المصفوفة والفضاء الصفري.
اقرأ من هنا عن: بحث مختصر عن الضرب الداخلي
