قوانين حساب المثلثات

قوانين حساب المثلثات، هامة جداً ويحتاجها العديد من الطلاب، حيث يتم تطبيقها في مجالات عديدة، ولذلك كثير من الأشخاص وليس الطلاب فقط يريدون معرفتها، وبالتالي سوف نقوم عبر موقع mqaall.com بتوضيح جميع القوانين الخاصة بحساب المثلثات في مقال اليوم.

المثلث القائم الزاوية

• يتكون المثلث من ثلاث زوايا، حيث يوجد على الزاوية القائمة مربع صغير وهو رمز المثلث قائم الزاوية.
  • أما الزوايا الأخرى فيرمز لها بالرمز س.
• وهذا المثلث يحتوي على 3 أضلاع، الأول هو الضلع المجاور Adjacent وهو الضلع المجاور للزاوية س.
• كذلك والضلع الثاني يسمى الضلع المقابل Opposite وهو الضلع المقابل للزاوية س.
• أما الضلع الثالث فهو الوتر Hypotenuse وهو أطول ضلع في هذا المثلث.

قوانين حساب المثلثات في المثلث قائم الزاوية

يعتقد أن أول من قاموا بدراسة علم المثلثات هم الفراعنة حيث قاموا بتطبيقه في بناء الأهرامات، وفيما يلي معظم قوانين حساب المثلثات.

• قانون الجيب Sine
  • جا س= الضلع المقابل للزاوية س ÷ الوتر.
• قانون جيب التمام Cosine
  • جتا س = الضلع المجاور للزاوية س ÷ الوتر.
• كذلك قانون الظل Tangent
  • ظا س= الضلع المقابل للزاوية س÷ الضلع المجاور للزاوية س.
  • ظا س = جا س ÷ جتا س.
• قانون القاطع Secant
  • قا س = الوتر ÷ الضلع المجاور للزاوية س.
  • قا = 1 ÷ جتا س.
• قانون قاطع التمام Cosecant
  • قتا س = الوتر ÷ الضلع المقابل للزاوية س.
  • قتا س = 1 ÷ جا س.
• أيضا قانون ظل التمام Cotangent
  • ظتا س = الضلع المجاور للزاوية س ÷ الضلع المقابل للزاوية س.
  • كذلك ظتا س = 1 ÷ ظا س.
  • ظتا س = جتا س / جا س.
• قوانين فيثاغورس Pythagorean identities
  • قتا² س- ظتا² س = 1.
  • قا² س- ظا ² س = 1.
  • جتا² س+ جا² س = 1.
• قوانين ضعف الزاوية
  • جا 2 س = 2 جا س جتا س.
  • جتا 2 س = جتا² س- جا² س.
  • ظا 2 س = 2 ظا س / ( 1- ظا ² س).
  • ظتا 2 س = (ظتا² س- 1) / 2 ظتا س.

متطابقات نصف الزاوية في المثلث القائم

• جا (س/2 ) = ± ( 1- جتا س) ÷ 2.
• كذلك جتا (س/ 2) = (1 + جتا س) ÷ 2.
• ظا (س / 2) = ± (1-جتا س) / (1+جتا س).
  • أيضا ظا (س/2 ) = جا س / (1+جتا س) = 1-جتا س/ جا س.
  • ظا ( س /2 )= قتا س- ظتا س.
• كذلك ظتا (س /2 )= ± (1+جتا س) / (1-جتا س).
  • ظتا (س /2 ) = جا س / (1-جتا س).
  • أيضا ظتا (س / 2) = 1+ جتا س / جا س.
  • ظتا (س / 2) = قتا س + ظتا س.

اقرأ من هنا عن: قانون حساب محيط نصف الدائرة

متطابقات هامة في علم حساب المثلثات

• الجمع والطرح
  • جا (س ± ص) = جا (س) × جتا (ص) ± جتا (س) × جا (ص).
  • جتا (س + ص) = جتا (س) × جتا (ص) – جا (س) × جا (ص).
  • جتا (س – ص) = جتا (س) × جتا (ص) + جا (س) × جا (ص).
  • ظا (س + ص) = ظا (س) + ظا (ص) / 1-(ظا س × ظا ص).
  • ظا (س – ص) = ظا (س) – ظا (ص) / 1+(ظا س× ظا ص).
• كذلك الضرب والجمع
  • جا س جا ص= ½ [جتا (س – ص) – جتا (س + ص)].
  • جتا س جتا ص= ½ [جتا (س – ص) + جتا (س + ص)].
  • جا س جتا ص= ½ [جا (س + ص) + جا (س – ص)].
  • جتا س جا ص= ½ [جا (س + ص) – جا (س – ص)].
• عكس الزاوية
  • جا (- س) = – جا س.
  • جتا (- س) = جتا س.
  • ظا (- س) = – ظا س.
• أيضا الزاوية المتكاملة
  • جا س = جا (180 – س).
  • جتا س = – جتا (180 – س).
  • ظا س = – ظا (180 – س).
• بالإضافة إلى الزاوية المتتامة
  • جا س = جتا (90 – س).
  • جتا س = جا (90 – س).
  • ظا س = ظتا (90 – س).
  • ظتا س = ظا (90 – س).
  • قا س = قتا (90 – س).
  • قتا س = قا (90 – س).

قوانين جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية

هذه القوانين ليست خاصة بالمثلث القائم الزاوية فقط بل يتم تطبيقها على باقي أنواع المثلثات.

• قانون الجيب
  • (أ / جا أَ) = (ب / جا بَ) = (جـ / جا جـَ).
  • (أ، ب، ج) عبارة عن طول كل ضلع في أي مثلث، أما (أً، بً، جَ) عبارة عن الزوايا التي تقابل كل ضلع من أضلاع المثلث.
• كذلك قوانين جيب تمام الزاوية
  • أ² = ب² + جـ² – (2 × ب × جـ × جتا أَ).
  • ب² = أ² + جـ² – (2 × أ × جـ × جتا بَ).
  • جـ² = أ² + ب² – (2 × أ × ب × جتا جـَ).

اقرأ أيضًا: الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء

تطبيقات علم حساب المثلثات

هذا العلم هو فرع من فروع العلوم الهندسية وعلم الرياضيات، وفيما يلي أهم تطبيقات قوانين حساب المثلثات.

• إنشاء الطرق والمباني.
• كذلك صناعة الأثاث والأجهزة التليفزيونية وملاعب كرة القدم.
• تحديد المسافة بين المدن والدول والقارات.
• كما يتم تطبيق قوانين حساب المثلثات في صناعة المحركات.
• أيضاً تستخدم تطبيقات هذا العلم في أنظمة الأقمار الصناعية الخاصة بالاستكشاف.

كما يمكنك التعرف على: بحث عن حالات تشابه المثلثات